<中1/正比例と反比例(7)(8)問題の解き方 解答と解説>




【問1】yは χ に反比例し、x=-1/3のときy=-3/2です。y=4のときのχ の値を求めなさい。

反比例の一般式 χ y=a に代入して比例定数 a をもとめます。

       1    3   1
a=χy=−―×(−―)=―
       3    2   2

           1                1
反比例の式 χy=― に y=4を代入して 4 χ=―
           2                2

この式を方程式と考えて解くと、χ=8 となります。

   A. χ=8

同様の問題で比例の関係ならば、(正)比例の一般式 y=a χ を用います。
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【問2】次のア〜クについて、下の問いにあてはまるものを全て記号で答えなさい。
 y=x/6 χ y=−12 y=3χ +5
 χ =4y y=3 χ2 χ +y=0
 x=-9/y y/7=8/x
(1) y が χ に比例するものを選びなさい。
(2) y が χ に反比例するものを選びなさい。

ア      1                    1
  式を y=― χ と書きなおすと、比例定数が― の正比例と分かります。
        6                    6

イ 反比例の式は χy=a とも表されます。

ウ 比例でも反比例でもありません。

  この式は一次関数であり、中2で習います。

エ 右辺と左辺を逆にし(4y=χ)、両辺を4でわると

   1               1
y=― χ となり、比例定数が ― の正比例と分かります。
   4               4

オ 比例でも反比例でもありません。

  この式については中3で習います。

カ χ を左辺に移行すると、比例定数1の正比例と分かります。

キ 両辺に y をかけると χ y=−9 となり、反比例と分かります。

ク 両辺に 7χ をかけると χ y=56 となり、反比例と分かります。

   A. (1) ア、エ、カ  (2) イ、キ、ク
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【問3】下の図のように、ABが 9cm、ADが 12cm の長方形 ABCDがあります。点Pは、辺BC上をBからCまで、毎秒1cm の速さで動きます。点Pが点Bを出発してから χ 秒後の三角形ABPの面積を ycm2 として、次の問いに答えなさい。
長方形ABCDと動点Pの図
(1) χ、yの関係を式に表しなさい。
(2) χ、yの変域を求めなさい。
(3) 三角形ABPの面積が 30cm2 になるのは、点Pが点Bを出発してから何秒後ですか。


(1)
三角形ABPについて、χ 秒後の底辺BPの長さは χ cm となります。
また、高さABは 9cm です。よって三角形ABPの面積 y は、

   1       9               9
y=―×χ×9=― χ          y=― χ
   2       2         A.    2 .

(2)
秒数 χ の最小値は0、最大値は点Pが点Cに着いたときの秒数、すなわちAC(=AP)の長さです。
面積 y の最小値は0、最大値は点Pが点Cに着いたときです。
そのときの三角形ABP(=三角形ABC)の面積は54cm2 になります。
   A. (0≦χ≦12) (0≦y≦54)
(3)
y=30 を (1) で求めた代入して、χ の値を求めます。

     9
30=― χ
     2

  20
χ=―
   3

    20
   ― 秒後
A.  3    .

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座標と3点A(-1,4),B(-4,-4),C(5,-2) 【問4】右の図で、三角形ABCの面積を求めなさい。ただし、座標の1目もりを1cmとします。
右の図のように三角形ABCを長方形で囲み、その面積から3つの三角形(黄色い部分)の面積を引きます。

                         1
長方形=8×9=72      △ADB=―×3×8=12
                         2

       1                  1
△BEC=―×9×2=9    △ACF=―×6×6=18
       2                  2

△ABC=72−(12+9+18)=33

A.33cm2
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【問5】 AB2つの歯車がかみあっています。歯車Aの歯の数は30で、1秒間に12回転しています。Bにはいろいろな歯の数の歯車をつかることができます。このとき、次の問いに答えなさい。
(1) 歯車Bの歯の数を χ、1秒間の回転数を y とするとき、χ、y の関係を式で表しなさい。
(2) 歯車Bの歯の数が45のとき、Bは1秒間に何回転しますか。
(3) 歯車Bの1秒間の回転数が20のとき、Bの歯の数はいくつですか。


かみあう2つの歯車について、一方の歯車の歯の数が決まっているとき、もう一方の歯車の歯の数一定時間の回転数反比例の関係になっています。
一方の歯車から送り出される歯の数が決まっているため、もう一方の歯車の歯の数が2倍、3倍になると、回転数は2分の1、3分の1と減ってしまいます。

(1) 30×12=360 より、歯車Aは1秒間に360の歯を送り出します。

よって歯車Bも1秒間に360の歯を受けることになります。

     360
A. y=―― または χy=360
      χ            .



      360
(2) y=――に χ=45 を代入して、y の値を求めます。
      χ

    360
 y=――   y=8
    45

A. 8回転

(3) χy=360に y=20 を代入して、χ の値を求めます。
20χ=360   χ=18
A. 18
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比例y=1/2xと反比例のグラフ <【問6】右の図は比例と反比例のグラフで、交点Aのy座標は2、交点Bのy座標は−2です。比例の式がy=2/5xのとき、次の問いに答えなさい。
(1) 点Aの座標を求めなさい。
(2) 反比例のグラフについて、y を χ の式で表しなさい。
(3) 点Aを通りy軸に平行な直線と、点Bを通りχ軸に平行な直線との交点をCとします。三角形ABCの面積を求めなさい。ただし、座標の1目もりを1cmとします。

           2
(1)比例の式 y=―χ にy=2 を代入して、χ の値を求めます。
           5

   2
2=―χ   χ=5
   5

A. (5,2)


(2) 反比例のグラフも点Aを通りますから、(5,2)を χy=a に代入して比例定数を求めます。

問題文に「y を χ の式で表せ」とあったら、解答は常に「y=」となります。

5×2=10

    10
A. y=―
    χ .

(3) (1)と同様に求めると、点Bの座標は(-5,-2)です。
また、点Cのχ座標=点Aのχ座標、点Cのy座標=点Bのy座標ですから、点Cの座標は(5,-2)です。
よってBC=10、AC=4となり、これを三角形の面性の公式にあてはめて△ABCの面積を求めます。
A. 20cm2
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